2007-08-25

2007-08-25

Radon - Nikodym の定理の証明(その 3) 前回定義した が求めるものであることを示します。 を有理数で ...概要を表示 Radon - Nikodym の定理の証明(その 3) 前回定義した が求めるものであることを示します。 を有理数で なるものとし、 を細分して とします。このとき ならば が成り立ちます。故に です。また も成り立ちます。従って となります。 ここで として について両辺を加えると となります。ただし です。 とすることで が得られます。 とすれば となります。 かつ ならば なので となり、 が求めるものであることが示されました。特に とすると なので、 は積分可能です。 (続く) Radon - Nikodym の定理の証明(その 4) 次に、 が 有限の場合を考えます。このときは を満たす可測集合列が存在します。そして各 上では を満たす 上非負でいたるところ有限な積分可能関数 が存在します。そこで として得られる関数 を考えれば、 かつ は可測関数で を満たすので、これを加えて