1-forma

En xeometría diferencial, unha 1-forma (ou campo covector ou forma-un) nunha variedade diferenciábel é unha forma diferencial de grao un, é dicir, unha sección suave do fibrado cotanxente.

De forma equivalente, unha 1-forma dunha variedade $M$ é un mapeamento suave do espazo total do fibrado tanxente de $M$ en $\mathbb {R}$ cuxa restrición a cada fibra é un funcional linear no espazo tanxente. Sexa $\omega$ unha 1-forma. Daquela

${\begin{aligned}\omega :U&\rightarrow \bigcup _{p\in U}T_{p}^{*}(\mathbb {R} ^{n})\\p&\mapsto \omega _{p}\in T_{p}^{*}(\mathbb {R} ^{n})\end{aligned}}$

Moitas veces, as 1-formas descríbense localmente, especialmente en coordenadas locais. Nun sistema de coordenadas local, unha 1-forma é unha combinación linear das diferenciais das coordenadas:

$\alpha _{x}=f_{1}(x)\,dx_{1}+f_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +f_{n}(x)\,dx_{n},$

onde os $f_{i}$ son funcións suaves.

Desde esta perspectiva, unha 1-forma ten unha lei de transformación covariante ao pasar dun sistema de coordenadas a outro.

Así, unha 1-forma única é un campo tensorial covariante de orde 1.

Exemplos

A 1-forma diferencial non trivial máis básica é a 1-forma de "mudanza de ángulo" $d\theta .$

Esta defínese como a derivada da "función" ángulo $\theta (x,y)$ (que só se define ata unha constante aditiva), que se pode definir explicitamente en termos da función atan2 ($\operatorname {atan2} (y,x)=\operatorname {arg} (x+iy)=\operatorname {Im} \operatorname {log} (x+iy).$)

Tomando a derivada obtense a seguinte fórmula para a derivada total: $${\begin{aligned}d\theta &=\partial _{x}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dx+\partial _{y}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dy\\&=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy.\end{aligned}}$$Aínda que o ángulo "función" non se pode definir continuamente, a función atan2 é descontinua ao longo do eixo $y$ negativo, o que reflicte o feito de que o ángulo non se pode definir continuamente, esta derivada defínese continuamente excepto na orixe, o que reflicte o feito de que mudanzas infinitesimais (e de feito locais) no ángulo poden definirse en tódalas partes excepto na orixe.

Integrar esta derivada ao longo dun camiño dá o cambio total de ángulo sobre o camiño, e integrar nun bucle pechado dá o número de enrolamentos por $2\pi .$

Na linguaxe da xeometría diferencial, esta derivada é unha 1-forma no plano furado. Está pechado (a súa derivada exterior é cero) mais non exacta, o que significa que non é a derivada dunha 0-forma (é dicir, unha función): o ángulo $\theta$ non é unha función suave definida globalmente en todo o plano furado.

De feito, esta forma xera a primeira cohomoloxía de Rham do plano furado. Este é o exemplo máis básico de tal forma, e é fundamental na xeometría diferencial.

Diferencial dunha función

Sexa $U\subseteq \mathbb {R}$ un aberto (por exemplo, un intervalo $(a,b)$ ), e considere unha función diferenciábel $f:U\to \mathbb {R} ,$ con derivada $f'.$

O diferencial $df$ asigna a cada punto $x_{0}\in U$ un mapa linear do espazo tanxente $T_{x_{0}}U$ nos números reais.

Neste caso, cada espazo tanxente é naturalmente identificábel coa recta numérica real e o mapa linear $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ en cuestión vén dado escalando por $f'(x_{0}).$ Este é o exemplo máis sinxelo dunha 1-forma diferencial.

Véxase tamén

Outros artigos

• Forma diferencial
• Produto interno – unha función de dous vectores que satisfai determinados axiomas (un caso usual é o produto escalar)
• Retícula recíproca
• Tensor – mapa multilinear nalgunha combinación de escalares, vectores, covectores e tensores
• Función suave – función que ten derivadas de calquera orde