■位相的M理論とブラックホールエントロピーの関係

位相的M理論は、11次元超重力と弦理論の統合としてのM理論の「位相的側面」を強調した理論だ。ここで扱うのは特に「G₂多様体」や「7次元の特異ホロノミー空間」の上で定義される理論。

ブラックホールエントロピーは、ボルツマン定数を1とすれば

𝐒 = 𝐀 / 4𝐆

だが、より深いミクロ状態の数え上げで理解される。特に M理論では、ブラックホールはブレーンの交差でモデル化され、そのエントロピーはブレーンの配置の組み合わせ数に対応する。

1. 幾何的構成

ブラックホールのマイクロ状態を M理論的に記述する際、Dブレーンの交差を使うが、これをより抽象的に「ホモロジー類 Hₚ(X, ℤ) の元」と考えよう。

空間 X ⊂ 𝕄 とすると、

各ブレーン構成は

x ∈ Hₚ(X, ℤ)

ここで p はブレーンの次元。

エントロピーはブレーンの配置空間の位相的不変量、特にオイラー数やベッチ数、あるいはより高度にはモジュライ空間の測度に依存する。

2. 代数的抽象

モジュライ空間 ℳ は、ブレーンの束縛条件と保存量（電荷、質量）で定義されるパラメータ空間。

エントロピーはその「ボリューム」として抽象化できる：

𝐒 ∼ log Vol(ℳ)

ここで「Vol」は、たとえば対称多様体上のリウヴィル測度。

また、シンプレクティック形式 ω が定義されるとして

Vol(ℳ) = ∫_ℳ ωⁿ / n!

として計算される。

3. 位相的M理論へのマッピング

位相的M理論では、G₂構造のモジュライ空間 ℳ_G₂ を考える。

ブラックホール解は特異な G₂ ホロノミー空間に対応し、その上のフラックス構成がブラックホールのマイクロ状態に相当。

したがって、次のような写像が考えられる：

Φ : Hₚ(X, ℤ) → ℳ_G₂

これによりエントロピーは位相的に次のように定式化できる：

𝐒 ≈ log Card(Φ⁻¹(γ))

ここで γ は与えられたマクロ量（質量、電荷）に対応するモジュライ空間の点。

4. さらに抽象化：圏論的視点

これを更に圏論で抽象化する。

対象：ブレーン配置（オブジェクト）

射：ブレーン間の変形（ホモトピー）

するとブラックホールのマイクロ状態の数は、対応する拡張エクステンション群 Extⁱ(A, B) の次元に帰着できる。

𝐒 ∼ log dim Extⁱ(A, B)

A, B はブレーン構成としての対象。

まとめ

この抽象化の極致をまとめよう：

空間： X ⊂ 𝕄（G₂多様体の部分多様体）

ブレーン： x ∈ Hₚ(X, ℤ)

モジュライ空間： ℳ ≅ Hom(Hₚ(X, ℤ), ℤ)

エントロピー： 𝐒 ∼ log Vol(ℳ)

圏論的： 𝐒 ∼ log dim Extⁱ(A, B)

エントロピーとは位相的な配置空間の測度であり、その「複雑さ」の定量化なのだ。

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