「モンテカルロ法」を含む日記

2025-11-04

6時17分、電動歯ブラシの音が寝室に反響する。洗面台の左端から15cmの位置に置かれたコップの水面が、微細に振動していた。オートミール40g、プロテイン12g、アーモンドミルク200ml。抽出比18:1のコーヒーは、温度計が93.0℃を示した瞬間に注ぐ。食事中、ルームメイトが「また同じ朝飯か」と言ったが、揺らぎは統計的誤差を生む。火曜日の朝に味の分散は不要だ。

午前8時。ホワイトボードには昨晩の計算式の断片が残っている。今日扱うのは、タイプIIB超弦理論の背景場に対する∞-層圏的修正モデル。モノイダル圏上の局所化関手をファイバー束の形で再構成し、非可換モジュラー形式の層化とホッジ双対性を同時に満たす条件を探す。通常のホモロジー代数では情報が落ちる。必要なのは、∞-圏の内側で動く「準自然変換」と、その自己準同型の導来空間だ。これをLanglands対応の派生版、すなわち「反局所的鏡映関手」にマッピングする。結果、弦の張力パラメータに対応する変形空間が、ホモトピー群πₙの非自明な巻き付きとして現れる。誰も確認していないが、理論的には整合している。ウィッテンですらこの構成を明示的に展開したことはない。そもそも導来層圏のモノドロミーを操作できる研究者自体が数えるほどしかいない。僕はそのわずかな孤島のひとつに立っている。

昼、ルームメイトが昼食を作っていた。キッチンのIH プレートに油の飛沫が残っていたので、座標系を設定し、赤外線温度計で範囲を確認してから清掃した。隣人が郵便物を取りに来た音がした。彼女の足音は毎回規則的だが、今日は左のヒールの摩耗音が0.2秒ずれた。おそらく週末に靴底を交換したのだろう。観測可能な変化は記録しておくべきだ。午後は大学のセミナー。話題はM理論の代数的拡張、だが発表者の扱っていた「微分層上の非可換コサイクル」は粗雑すぎる。導来圏の階層化を考慮していなかった。帰りの車中、ノート PCでホモトピー型タイプ理論を使って自作の演算モデルを再計算した。

帰宅後、友人二人が旧式のTCGのデッキを持ってきた。新パッチでエラッタされたカードの挙動を確認するための検証会だ。デッキの構築比率を1枚単位で最適化し、サイドデッキの回転確率をモンテカルロ法でシミュレートした。相手のコンボ展開が不完全であったため、ターン3で勝負が決した。カードの裏面の印刷ズレを指摘したら、彼らは笑っていた。テーブル上に置かれたスリーブの角度が4度傾いていたので、直してから次のゲームに入った。

夜。隣人が新刊のコミックを持ってきた。英語版と日本語版で擬音語の翻訳がどう違うかを比較する。onoma-topeic rhythmの差分は文脈ごとに変動するが、今回は編集者がセリフのテンポを原文に寄せていた。明らかに改良された訳。印刷の黒インクの濃度が0.1トーン深い。紙質も変わっている。指先で触れた瞬間に気づくレベルだ。

23時。寝具の方向を北北東に0.5度調整し、照明を2700Kに落とす。白板の前で最後の計算。∞-層のモノドロミー作用素が、ホッジ-ドリーニュ構造と可換する条件を整理する。導来関手の符号が反転した。ノートを閉じ、部屋の温度を22.3℃に固定する。音は一切ない。火曜日が静かに終わる。

モンテカルロ法は、なぜ、乱数で積分が計算できるのか理解してる・・？

本当に理解してんのかな？

正確に言うと，モンテカルロ法で得られる結果は，積分結果の近似値になる

まず円周率を pi として，円の面積 A = pi*r*r を考えて

モンテカルロ法でA'が得られたら， A'/(r*r) を計算して pi の近似値を得る

つまり円周率の近似値の計算法なんだな

「円周率って確率じゃないの？」って意味不明なコメントから，「円周率」と「確率」だけ見てモンテカルロ法を連想したんだろうけどさ，

「私はモンテカルロ法を理解していません」って白状しているようなもんだよ

まず、アルゴリズムの根幹を成す計算複雑性について。O(n)やO(log n)といった表記は表面的な理解に過ぎない。真に重要なのは、問題の本質的な計算困難性だ。P≠NP予想を例に取ろう。この未解決問題は、効率的に解ける問題と解けない問題の境界を定義している。初心者は単にアルゴリズムを暗記するのではなく、この根本的な概念を理解せねばならない。

次に、データ構造。単純な配列やリンクドリストの理解では不十分だ。高度な自己平衡二分探索木、例えばレッドブラック木やAVL木の内部動作を完全に理解し、それらを一から実装できるレベルを目指すべきだ。さらに、アモーティゼーション解析を用いて、これらのデータ構造の操作の平均時間計算量を厳密に証明できる能力も必要不可欠だ。