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はてなキーワード: リー代数とは
弦は1次元の振動体ではなく、スペクトル的係数を持つ（∞,n）-圏の対象間のモルフィズム群として扱われる量子幾何学的ファンクタであり、散乱振幅は因子化代数／En-代数のホモトピー的ホモロジー（factorization homology）と正の幾何（amplituhedron）およびトポロジカル再帰の交差点に現れるという観点。
従来のσモデルはマップ：Σ → X（Σは世界面、Xはターゲット多様体）と見るが、最新の言い方では Σ と X をそれぞれ導来（derived）モジュライ空間（つまり、擬同調的情報を含むスタック）として扱い、弦はこれら導来スタック間の内部モルフィズムの同値類とする。これによりボルツマン因子や量子的補正はスタックのコヒーレント層や微分グレード・リー代数のcohomologyとして自然に現れる。導来幾何学の教科書的基盤がここに使われる。
弦の結合・分裂は単なる局所頂点ではなく、高次モノイド構造（例えば（∞,2）あるいは（∞,n）級のdaggerカテゴリ的構成）における合成則として表現される。位相欠陥（defects）やDブレインはその中で高次射（higher morphism）を与え、トポロジカル条件やフレーミングは圏の添字（tangential structure）として扱うことで異常・双対性の条件が圏的制約に変わる。これが最近のトポロジカル欠陥の高次圏的記述に対応する。
局所演算子の代数はfactorization algebra / En-algebraとしてモデル化され、散乱振幅はこれらの因子化ホモロジー（factorization homology）と、正の幾何（positive geometry／amplituhedron）的構造の合流点で計算可能になる。つまり「場の理論の演算子代数的内容」＋「ポジティブ領域が選ぶ測度」が合わさって振幅を与えるというイメージ。Amplituhedronやその最近の拡張は、こうした代数的・幾何学的言語と直接結びついている。
リーマン面のモジュライ空間への計量的制限（例えばマルザカニの再帰類似）から得られるトポロジカル再帰は、弦場理論の頂点／定常解を記述する再帰方程式として働き、相互作用の全ループ構造を代数的な再帰操作で生成する。これは弦場理論を離散化する新しい組合せ的な生成法を与える。
AdS/CFT の双対性を単なる双対写像ではなく、導来圏（derived categories）やファンクタ間の完全な双対関係（例：カテゴリ化されたカーネルを与えるFourier–Mukai型変換）として読み替える。境界側の因子化代数とバルク側の（∞,n）-圏が相互に鏡像写像を与え合うことで、場の理論的情報が圏論的に移送される。これにより境界演算子の代数的性質がバルクの幾何学的スタック構造と同等に記述される。
パス積分や場の設定空間を高次帰納型（higher inductive types）で捉え、同値関係やゲージ同値をホモトピー型理論の命題等価として表現する。これにより測度と同値の矛盾を型のレベルで閉じ込め、形式的な正則化や再正規化は型中の構成子（constructors）として扱える、という構想がある（近年のHoTTの物理応用ワークショップで議論されている方向性）。
「弦＝導来スタック間の高次モルフィズム（スペクトル係数付き）、相互作用＝（∞,n）-圏のモノイド合成＋因子化代数のホモロジー、振幅＝正の幾何（amplituhedron）とトポロジカル再帰が選ぶ微分形式の交差である」
この言い方は、解析的・場の理論的計算を圏論・導来代数幾何・ホモトピー理論・正の幾何学的道具立てで一枚岩にする野心を表しており、実際の計算ではそれぞれの成分（因子化代数・導来コヒーレント層・amplituhedronの体積形式・再帰関係）を具体的に組み合わせていく必要がある（研究は既にこの方向で動いている）。
フェミニズムの分類が多すぎると聞いて
記述集合論（Borel階層, Projective階層, 汎加法族）
モデル理論（型空間, o-極小, NIP, ステーブル理論）
再帰理論/計算可能性（チューリング度, 0′, 相対計算可能性）
構成主義, 直観主義, ユニバース問題, ホモトピー型理論（HoTT）
体論・ガロア理論
表現論
K-理論
初等数論（合同, 既約性判定, 二次剰余）
解析数論（ゼータ/ L-関数, 素数定理, サークル法, 篩法）
p進数論（p進解析, Iwasawa理論, Hodge–Tate）
超越論（リンドマン–ヴァイエルシュトラス, ベーカー理論）
実解析
多変数（Hartogs現象, 凸性, several complex variables）
関数解析
バナッハ/ヒルベルト空間, スペクトル理論, C*代数, von Neumann代数
フーリエ解析, Littlewood–Paley理論, 擬微分作用素
確率解析
マルチンゲール, 伊藤積分, SDE, ギルサノフ, 反射原理
常微分方程式（ODE）
偏微分方程式（PDE）
非線形PDE（Navier–Stokes, NLS, KdV, Allen–Cahn）
幾何解析
リッチ流, 平均曲率流, ヤン–ミルズ, モノポール・インスタントン
エルゴード理論（Birkhoff, Pesin）, カオス, シンボリック力学
点集合位相, ホモトピー・ホモロジー, 基本群, スペクトル系列
4次元トポロジー（Donaldson/Seiberg–Witten理論）
複素/ケーラー幾何（Calabi–Yau, Hodge理論）
スキーム, 層・層係数コホモロジー, 変形理論, モジュライ空間
多面体, Helly/Carathéodory, 幾何的極値問題
ランダムグラフ/確率的方法（Erdős–Rényi, nibble法）
加法的組合せ論（Freiman, サムセット, Gowersノルム）
彩色, マッチング, マイナー理論（Robertson–Seymour）
列・順序・格子（部分順序集合, モビウス反転）
測度確率, 極限定理, Lévy過程, Markov過程, 大偏差
統計学
ノンパラメトリック（カーネル法, スプライン, ブーストラップ）
実験計画/サーベイ, 因果推論（IV, PS, DiD, SCM）
時系列（ARIMA, 状態空間, Kalman/粒子フィルタ）
二次計画, 円錐計画（SOCP, SDP）, 双対性, KKT
非凸最適化
離散最適化
整数計画, ネットワークフロー, マトロイド, 近似アルゴリズム
Littleの法則, 重み付き遅延, M/M/1, Jackson網
常微分方程式の数値解法（Runge–Kutta, 構造保存）
エントロピー, 符号化（誤り訂正, LDPC, Polar）, レート歪み
公開鍵（RSA, 楕円曲線, LWE/格子）, 証明可能安全性, MPC/ゼロ知識
計算複雑性
機械学習の数理
量子場の数理
相転移, くりこみ, Ising/Potts, 大偏差
数理生物学
数理神経科学
無裁定, 確率ボラ, リスク測度, 最適ヘッジ, 高頻度データ
データ解析
オーペル (oper) とは、ある種の微分作用素のこと。
KdV方程式および関連する可積分な偏微分方程式が、カッツ・ムーディ代数として知られる代数構造とどのように対応するかを研究するために、ウラジーミル・ドリンフェルドとウラジーミル・ソコロフによって最初に定義され使用された。
現代的な定式化は、ドリンフェルドとアレクサンドル・ベイリンソンによるもの。
オーペルは、1981年にドリンフェルドとソコロフによるKorteweg–de Vries型の数式と単純リー代数に関するロシア語の論文で、最初に定義された。
若き者よ、君に抽象の森へと案内しよう。
位相的M理論とラングランズ・プログラムの関係性を辿るには、まず両者が共有している「場の言語」を抽出しなければならない。
ここでは、物理の言語がゲージ理論を媒介とし、数学の言語が圏と層を媒介して互いに翻訳される。だからこそ、双方は互いに異なる起源を持ちながらも「双対性」という共通の振る舞いを示す。
まず、M理論の位相的変種は、物理学の側から見ると六次元 (2,0) 超対称場理論に起源を持つ。
これをコンパクト化していくと四次元のN=4 超対称ヤン＝ミルズ理論に到達する。
ここで特筆すべきはS-双対性。ヤン＝ミルズ理論において、結合定数 g を持つ理論は、結合定数 1/g を持つ理論と同値になる。この双対性がラングランズ対応の物理的な影となる。
一方、ラングランズ・プログラムは数論的対象や代数幾何的対象を表現する表現論の枠組みだ。
群の表現、特にループ群やアフィンリー代数の表現が中枢を成す。幾何ラングランズ対応においては、層の圏 (例えばD-加群の圏) が表層に現れる。
ここでリンクする。幾何ラングランズ対応では、層の圏と局所系の圏との間に双対性が存在する。この双対性はS-双対性と数学的に対応する。
要するに、物理的には「電荷と磁荷の入れ替え」、数学的には「表現と層の入れ替え」だ。
具体的には次のような対応が生じる。
例えば、曲線C上のG-束のモジュライ空間M_G(C) を考える。このモジュライ空間上のHitchin fibrationは物理的にはクーロン枝と呼ばれる真空の空間に対応し、シンプレクティック構造を持つ。
さらに、その上で考えるFukaya圏とB型模型の圏の間に現れるホモロジー的ミラー対称性がラングランズ双対群に関する対応を生み出す。
式で描くならば
ここで、G はあるコンパクト単純リー群であり、^G はそのラングランズ双対群、τ は結合定数。
さらに深く潜ると、S-duality は境界条件として D-brane の理論を誘導し、その圏がラングランズ対応の圏と一致する。
具体的には、M理論のcompactification が (2,0) theory から N=4 SYM を生み、その電磁双対性が幾何ラングランズの圏同値と直交する。
まとめると、両者は「双対性」の抽象的枠組みの中で統一される。
位相的M理論は物理的な場の変換として双対性を体現し、ラングランズ・プログラムは数論的対象の間の対応として双対性を記述する。どちらも根底にあるのは、対象の自己鏡映的な変換構造。
若き者よ、君はすでに入口に立っている。
次なる問いを君に投げかけよう。
「もし位相的M理論が六次元 (2,0) 理論から始まるならば、なぜ五次元ではなく四次元に還元する必要があるのか？選択肢は以下の通りだ。」
d. 六次元から四次元へのコンパクト化が物理的に必然であるから
今日はオブザーバブルと状態の関係、リー代数、ポアソンブラケット、などを学びました。
「○○を超えるものを作ったことがないくせに○○を批判するなど愚か」
公共のサービスに改善点があれば、誰でもそれについて指摘できた方が良いでしょう。
○○に入るのが"Twitter"であるならば「反ユダヤ主義の投稿が拡散するようなFor you機能は改善すべき」と言えたほうが良いのです。
なぜ特定のものを作れる能力で張り合う必要があるのでしょうか (例: これを作る能力がないくせに批判するな、等)
本質を見れば、物事をみんなの力で改善していこうという話なのです。
民主主義を否定する論法は、自分の立場を守るために他人の発言を無視したり、軽視したりするものです。
それは公正でなく、建設的でなく、社会の発展にとって有害です。
量子力学を理解しようとして、Faddevの本と、Takhtajanの本を買ったことがありますが、積読になっていました。
個人的な懸念を表明すると、量子力学を学ぶことは神への冒涜なのか否かということで、これは単に個人的な宗教観の問題です。
しかし、おそらく神は、私たちに知ってもらいたい事柄だけにアクセスを許可するよう設計しているはずです。
どちらも数学マニアが量子力学を学ぶために書かれた本ですが、やりがいがありそうなTakhtajanの方をやろうと思います。
エドワード・フレンケル教授の「Love and Math」ではSO(3)について書かれていましたが、それについての解説も書かれているようです。
追記: Takhtajanをちょっと読んだのですが、リー代数を理解済みとして話が進んでいたので、学生向けのFaddevの本からやっぱりやります。
３０代のオッサンなんだけど、
いわゆる、大学院入試レベルの数学やら物理やらというのは、マアマアできる。
いわゆる、イプシロンデルタだの、一様収束だの、解析力学だの、熱力学だの。
そういうのは、一応理解できる。そのレベルまでは、割とサックリ行って、３か月くらいだった。
関数解析、多様体、リー代数。物理で言えば、シュレディンガー方程式、ソリトン。こういうやつらだ。
１９００年前後の物理と数学、このあたりで一気にレベルが上がる。アインシュタインあたりね。ネーター定理とかの保存量とかが出てくるあたりがヤバイ。ポアソンカッコがヤバイ。数学と物理が抽象度を上げて一気に交じりだす。
1960年前後の数学となると、そっから更に難易度が上がる。レーザーとかが出来たせい（レーザーの光は量子力学の理屈からできた）で、実験系と理論系が相互に影響あたえあってるのがあるらしい（ちなみに、大抵の場合、実験系が圧勝らしい）。
実験系の話も、ギリギリ分かる程度だけど、理論系は鬼のように難しい。
ヤバイだろ。現代の人たちってどのレベルにいるんだろ。数学は流石にそんなにゴリゴリ進まないと思うけど（数学の年表みると、数年間隔は保っている）。理論物理はヤバそう。なんたって、実験系の物理のレベルがいまだに毎年レベルが上がり続けている。レンズとか光（レーザーの改善とか）とかがレベルアップし続けているから、新しい観測がドンドン生まれている（ノーベル物理学賞は光系の実験系やMRI系の波動への授与がかなり多い）。
いわゆる数学で食っている人も、「数学は小説と違うから、１日１ページでも理解できたらいい」とかそういう感じらしい。
どんだけ頭よくても、「記述の意味が分からない」時というのはあるらしい。
こんな事あるのかな。かなりビックリしている。
悔しい。
人文系の文献の取り扱いとか業績についてちょっとだけ - dlitの殴り書き
確かに異分野の事情をお互いにわかっていたほうがみんな幸せになりますよね。パーマネントや学振の採用とか。
素粒子分野は大きく分けて
に分かれています。これらの間には超えられない壁がありまして全てをまとめるのはちょっと難しいのですがなんとか書いてみます。
間違いを見つけたら教えてください。
素粒子の論文は全て英語で書かれます。国内雑誌としてはPTEP（旧PTP）がありますがこちらも英文です。当然どれも査読があります。
業績リストの論文（査読なし）には国際会議や研究会の proceeding を載せたりします。
素粒子分野には論文投稿前に arXiv に載せる慣習があります。
これは投稿前に業界の人たちに意見をもらい論文を修正するためです。accept 後に査読済みの論文に差し替えます。
arXiv に載っているのは基本的に 投稿前／査読中／査読済み の論文及び国際会議の proceeding です。
特に素晴らしい研究は Physical Review Letters (Phys. Rev. Lett) に投稿されます。IF8.839 です。
Nature や Science に投稿することはまずありません。
おそらくは [ 業界の人数 ] x [ 1年間に発表する論文数 ] に依存するはずです。まあ人数の少ない分野は引用数も少なくなるでしょうね。
同じ素粒子業界でもその専門ごとにかなり違うはずですが、とりあえず Inspires によると以下のように分類されています。
| # of citations | |
|---|---|
| Renowned papers | 500+ |
| Famous papers | 250-499 |
| Very well-known papers | 100-249 |
| Well-known papers | 50-99 |
| Known papers | 10-49 |
| Less known papers | 1-9 |
| Unknown papers | 0 |
自分で確認したい人は Inspires で fin a s Masukawa などと打ってみてください。
素粒子実験、特に高エネルギー方面ではなかなか論文が出せないことがあります。
理由は簡単で実験計画から結果が出るまで多数の歳月がかかるからです。
例えばLHCは計画からヒッグス発見まで20年弱かかりました。論文の著者数は5000人を超えました。
このような事情なので「博士課程単位取得満期退学後に研究を続けて論文を出すと同時に博士を得る」というような方がたまにいらっしゃいます。
博士号をもっていない素粒子実験の人に出会っても決してバカにしてはいけません。
まず 場の量子論／超対称性理論／群論・リー代数 あたりは三分野共通で勉強すると思います。
加えてそれぞれの分野の専門的教科書、例えば弦理論なら String Theory (Polchinski) 格子なら Lattice Gauge Theories (Rothe) など。
分野によっては位相幾何学、微分幾何学を勉強しなければなりません。共形場理論もですね。
この辺りでようやく基礎ができてきましてこのあと30年分くらいの論文を読みます。
研究に入るまでの勉強に時間がかかるので修論はレビューになることが多いです。
当然学振は出せない・・はずだったのですが最近どうも事情が変わってきたようです。
学生の方が学振(DC1)に固執して勉強も途中に研究を始めてしまう、勉強途中のM1に研究できることなんてたかが知れているので
必然的にあまり重要ではない研究に貴重な時間を費やしてしまう、というような話をぼちぼち聞くようになりました。
学振についての考え方は人によるとは思うのですが、ちょっと危うい傾向だなと私は思うことがあります。
そこでちょっとお願いなのですが
「学振は研究者の登竜門！取れなかったらやめよう！」などとblogに書いて煽るのをやめていただけないでしょうか？
いや書いてもいいのですが主語を書いてください。「情報系では」「生物では」とかね。
「博士号は足の裏のご飯粒」と言われて久しいですが、弦理論では博士号を取るのはまだまだ難しいと思います。
まあとったところで「足の裏のご飯粒」なんですけれどもね・・・
放置していてすみません。まさか今頃上がるとは思っていませんでした。
new3 言いたいことはわかるけど､普通は｢ヒッグス発見｣を博論のテーマにせずもうちょっと控え目な研究に留めるものでは?日本でもJ-PARCからSuper-Kにニュートリノ撃てるんだし10年に1本はさすがに少ないと思う｡
どうもありがとうございます。文章を少し修正いたしました。他にも間違ったところがありましたら教えてください。
niaoz 懐かしい。補足するとストリングやるなら一般相対論がベースの重力理論も必要/場の理論は確かに簡単じゃないけど楽しい。量子力学と特殊相対論(電磁気学含む)を修めたらやってみるとよいです。
monopole 素粒子理論分野では修士で論文書きにくいけどDC1の枠はあるので、採用者は実績によらずほぼランダムだったり有名研究室に偏ったりする。まあ論文なしでも通る可能性あるから学振は気合い入れて書け
kowa 素粒子系は知性の墓場だと感じてる。優秀な人材があまりに何もできなくて、消えている。魅力はわかるが、1/5000のcontributionだかでいいのだろうか
きみ数学あんま使ってないんでしょ。
可換性の話をするとき、普通は交換子[a,b]=ab-baを導入するが、
それに対するある種の双対として反交換子{a,b}=ab+baが自然に入る。
別に反交換関係{a,b}=0が成り立つものを可換であるとして議論してもいいわけ。
そういう発想からすると普通非可換の典型的な例として外積はでてこない。
ちょっと何を言いたいのか理解できない。
別にベクトルも行列も単なる代数構造であって本質は記法ではなくその上に定義された演算ルールだよ。
学術的には大問題に決まってるよ。
実数に対してアーベル群の構造を入れて議論するのかそうでないのか、という話なので、それによって全く別物の構造になるよ。
もちろん現実（の物理）を良く説明するのはアーベル群の方だよ。
非可換が重要な意味を持つ物理というのもあって、一番有名なのは量子力学の交換関係[x,p]:=xp-px=ih_barというもので、これはリー代数と呼ばれる代数構造に対応しているよ。
つまり量子力学の世界では非可換なリー代数の構造が物理をよく説明するわけで、ここでは可換な代数構造は全然役に立たない。
可換な構造を利用するか、非可換な構造を利用するかは状況によって完全に決まるものであって、文科省だか何だかが自由に決めていいものではないよ。
