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はてなキーワード: 数学基礎論とは
クワス算の議論がどうもソーカル事件並にあいまいで無意味なものに感じるわけで、まずクワス算とそれに関してどのような問題が起こっているかというという主張を、その主張が証明可能になるように数理論理学の言語で形式的に表現し直すべきものだと思うのだが、そのようなことをしている本がなかなか見つからなくて学びが深まらない。
dorawiiより
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フェミニズムの分類が多すぎると聞いて
記述集合論（Borel階層, Projective階層, 汎加法族）
モデル理論（型空間, o-極小, NIP, ステーブル理論）
再帰理論/計算可能性（チューリング度, 0′, 相対計算可能性）
構成主義, 直観主義, ユニバース問題, ホモトピー型理論（HoTT）
体論・ガロア理論
表現論
K-理論
初等数論（合同, 既約性判定, 二次剰余）
解析数論（ゼータ/ L-関数, 素数定理, サークル法, 篩法）
p進数論（p進解析, Iwasawa理論, Hodge–Tate）
超越論（リンドマン–ヴァイエルシュトラス, ベーカー理論）
実解析
多変数（Hartogs現象, 凸性, several complex variables）
関数解析
バナッハ/ヒルベルト空間, スペクトル理論, C*代数, von Neumann代数
フーリエ解析, Littlewood–Paley理論, 擬微分作用素
確率解析
マルチンゲール, 伊藤積分, SDE, ギルサノフ, 反射原理
常微分方程式（ODE）
偏微分方程式（PDE）
非線形PDE（Navier–Stokes, NLS, KdV, Allen–Cahn）
幾何解析
リッチ流, 平均曲率流, ヤン–ミルズ, モノポール・インスタントン
エルゴード理論（Birkhoff, Pesin）, カオス, シンボリック力学
点集合位相, ホモトピー・ホモロジー, 基本群, スペクトル系列
4次元トポロジー（Donaldson/Seiberg–Witten理論）
複素/ケーラー幾何（Calabi–Yau, Hodge理論）
スキーム, 層・層係数コホモロジー, 変形理論, モジュライ空間
多面体, Helly/Carathéodory, 幾何的極値問題
ランダムグラフ/確率的方法（Erdős–Rényi, nibble法）
加法的組合せ論（Freiman, サムセット, Gowersノルム）
彩色, マッチング, マイナー理論（Robertson–Seymour）
列・順序・格子（部分順序集合, モビウス反転）
測度確率, 極限定理, Lévy過程, Markov過程, 大偏差
統計学
ノンパラメトリック（カーネル法, スプライン, ブーストラップ）
実験計画/サーベイ, 因果推論（IV, PS, DiD, SCM）
時系列（ARIMA, 状態空間, Kalman/粒子フィルタ）
二次計画, 円錐計画（SOCP, SDP）, 双対性, KKT
非凸最適化
離散最適化
整数計画, ネットワークフロー, マトロイド, 近似アルゴリズム
Littleの法則, 重み付き遅延, M/M/1, Jackson網
常微分方程式の数値解法（Runge–Kutta, 構造保存）
エントロピー, 符号化（誤り訂正, LDPC, Polar）, レート歪み
公開鍵（RSA, 楕円曲線, LWE/格子）, 証明可能安全性, MPC/ゼロ知識
計算複雑性
機械学習の数理
量子場の数理
相転移, くりこみ, Ising/Potts, 大偏差
数理生物学
数理神経科学
無裁定, 確率ボラ, リスク測度, 最適ヘッジ, 高頻度データ
データ解析
-----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE----- Hash: SHA512 https://anond.hatelabo.jp/20250903192030# -----BEGIN PGP SIGNATURE----- iHUEARYKAB0WIQTEe8eLwpVRSViDKR5wMdsubs4+SAUCaLgWbgAKCRBwMdsubs4+ SJ+8AQDjA9rHOl/0QbnrRJJXfRZpkWWt4W70ax4qTKMYKl/1zAEA9rIg9N7uWC3I 8Bdby0+U+FKfGygGtzKx5H5qkYL8fQ4= =9S+E -----END PGP SIGNATURE-----
わかった気にさせる本が悪いとは言わないが、自分はもっと厳密に分かりたいと思っていて、それで数学書を読むんだけど、こっちはこっちで「難しい議論をしている割に言葉足らず過ぎて分かりようがない」本になっているものが多すぎて、どないしろっちゅーねんって思いになる。
中学では十分証明問題になるような命題が、なんの説明もなくこれこれが成り立つ、だから～という調子でフォローなく証明が続けられるのを見てきた。
それが許されるのなら中学生は「～相似であることを証明せよ」という問題に対して「相似が成り立つからだ」とだけ書けば正解答案として成立してしまうことになる。
思うに証明にはいかにも証明らしい言い回しや言葉以外使ってはいけないかのような暗黙の了解もあるように感じる。
その割には術語を定義したときのその概念の説明には割と自由度を持たせている傾向が見られる。
その概念が関わる具体例を使って概念の目的を丁寧に説明していることも多い。
また証明といっても対角論法の証明は初めて見る人間へのそのとっつにくさがさすがに自覚されるのかなぜ証明が成り立つのか表なりを書いてイメージの力の存分に援用するもうちょっとカジュアルな内容になっていることがある例外もある。
しかしほとんどの場合そういった態度が証明(モード)では見られない。さらっと済まされてしまう。
計算問題では途中式の前後でも自由につまづきやすいポイントを解説した文章が挟まれたりするが、証明問題の解説は模範解答でもって代えていた記憶がある。
つまり模範解答の文章が難しく感じる人にとってはもうその解答を暗記するしかない。論語の丸暗記みたいなもの。
そのままテストとかで通用するようにそういうような解答になっているのだろうか。
数学書も論文として書いて格好悪くないものを、なんていう数学の本質ではないことに配慮して「真似るべきもの」としてそういうスタイルで証明を記述しているのではないかと思える。
であるなら、証明全体が一番目の文、二番目の文…というふうに出来ていたとして「(一番目の文)と書けるのはこれこれがこのような理由で成り立っているからです。しっくりこない人のためにこの理由をさらに掘り下げると～のようになっています。よって(数式)を証明の最初に書くことになります。次に～なのでこの式が二番目に来ることになります～」という解説ではダメなのだろうか？
またこの解説はそのまま証明の一つの形にもなってないのだろうか？
そもそも証明とは万人にその事実が成り立つことを理解できるような形で書かれたものを言う。
一部の人にとって意味も分からず丸暗記するしかないようなものはもはや証明の本来の目的を満たしていない。
オーソドックスな証明を構成する文の全てが含まれてさえいるなら、それの言わんとすることをさらにわかりやすく説明した肉付けの部分が加わった上記のような形の解説も証明の一つの形としていいのではないか。
それをしていいという感覚がないことが世の中の数学書の証明が言葉足らずになっている一因になっているのではないか。
もしそれが蛇足で証明全体の厳密性を損ねるというのなら、コメントアウトのような記法を使えばいいと思う。
//これの言わんとするところは～
とか、必要に応じて
式//<は～
みたいな書き方をするとか。二番目の例はサクラエディタで一文が続いているときに折り返しで便宜上改行されていることを示す記法を参考にした。
証明が長くなりすぎてその始まりと終わりが分からなくなるという懸念については既に証明の行頭のさらに横の余白に記号をつけて開始や終了を示すようにした数学書は存在するのでそれを他の数学書も参考にすればいい。
そもそも自然言語で書いている時点で完全な厳密性は諦めているわけなので、厳密だなんだと言うのはよりわかりよく書くことに対する言い訳にはならないと思う。
かといって従来の証明の構成要素を押さえた書き方なのであれば、それは一般書籍にあるような「わかったつもりにさせる文章」というのとも一線を画す。
数学の証明を完全に厳密に書こうとするとブルバキの数学原論やラッセルのプリンピキアマセマティカみたいになってしまい、後者は数学者には読む価値の無い本とされているし、前者にしても30年以上かけて刊行し続けて今だ数学の興味ある話題には到達できていないということになっているということから、数学書は省略するということが好まれるらしい。
でも既に数学基礎論レベルの厳密さを求めてはいない一般的な数学書の証明レベルの厳密さにわかるやすさという要素を足し合わせたところで、原論並みに極端に嵩が増すということにはならないと思う。
自分で考えないとその概念とかが身につかないから省略しているという反論に対しては、逐一圧倒的な量の具体例を持ち出すことで十分に補えるのではないかと思える(それでもメリハリをつければ原論ほどのボリュームにはならない)。
数学書は本当にチンプンカンプンな状態の本も多いので、考える力を身に着けさせるとか以前に、もっと理解できるような教えを工夫することに焦点を当てるべき。
考える力だろうがなんだろうが、そもそも書いてあることがわかんないってような構成の本ではしょうがないと思う。
コストがかかる割に日本語というローカライズされた市場で本が少しでも分厚くなるようなことはコストが回収できなくなるから避けたいという考えもあるのだろうが、それこそよほどの天才じゃなければはっきり言語化しないだけで私のような考えをしたことがある人はむしろ大半を占めていると思うし、比較的私の考えと同じ考えを持っていそうな裳華房の手を動かして学ぶシリーズがその出版社内のランキング上位を占めていた。
言葉足らずな数学書がまだまだ多い状況ではむしろどこぞのwebデザインの本のように何万部と売れるチャンスがごろごろ転がっているんじゃないかな。
わかりやすい解説が証明の一つの形として通用するようになれば、中高での試験答案においても純粋数学の論文でもそういう文章を証明として書いていいことになるのだから、参考書や数学書の証明部分も丸暗記するしかないようなわかりにくいものではなくなると思う。
https://id.fnshr.info/2017/12/10/polite-proof/
というジョーク記事があるけど、挨拶から書くとかは全く数学的な主張の分かりやすさにはつながらないから意味がないとしても(とはいえ親しみやすさもわかりやすさにつながることを完全否定もできないんだけど)根っこの部分ではもしかすると書き手は私と同じ問題意識を持っていたのではないかと感じさせる。
-----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE----- Hash: SHA512 https://anond.hatelabo.jp/20250804185908# -----BEGIN PGP SIGNATURE----- iHUEARYKAB0WIQTEe8eLwpVRSViDKR5wMdsubs4+SAUCaJCEcQAKCRBwMdsubs4+ SCv6APwPYZCxOIzijneKHMK5c+nrqS0YImv/gOsxm5/ERhIiXAD9EtAaFU6CTO3D UJ81tuHO6vv/pHwbom0ytd9gthgsPwU= =6OiQ -----END PGP SIGNATURE-----
まず瞑想中に瞑想について考えてしまう。「呼吸をこうしなきゃ」「考えちゃダメだ」「姿勢はこうでないと」「考えちゃダメだって考えてしまった」とか
あと、ソーシャルメディア中毒を解消しようとして、Youtubeでソーシャルメディア中毒解消のための動画を見て、その種の動画に中毒になってしまった
何かを学ぼうと思って、「学ぶ前に、考える方法を学ぼう」となり「考える方法について考えないと」となり、哲学を学ぶようになった
数学について学ぼうと思って、なぜか「数学とはなにか」を学ぶことになり、数学基礎論を学んでいる
たぶんだけど、思考を取り払おうとする過程で、「これは思考である」と認識しにくくて取り払いにくいものがメタ思考なんだろうな
俺はね、やっぱり哲学も純粋数学も役に立たねぇなって思っちまうんだよな。
だが、その瞬間、パラドクスに陥る。この思考自体が哲学的命題であり、その論理構造は数学的基盤に依拠している。
クソッ、頭の中で超弦理論とカラビ・ヤウ多様体が交錯し始めやがった。
11次元の時空間で、プランク長のスケールでの量子重力効果を考慮すると、存在そのものが確率的な様相を呈し、ハイゼンベルクの不確定性原理が存在論にまで拡張される。
昨日なんざ、スーパーでリンゴ買ってて、突如としてペアノの公理系からZFC集合論に至る数学基礎論の系譜が脳裏に浮かんだ。
そして、ゲーデルの不完全性定理とコーエンの強制法を経て、continuum hypothesisの独立性にまで思考が飛躍。
これって、日常的現実と数学的抽象の境界の曖昧さを示唆してんじゃねぇのか？
帰り道、ガキどもがニーチェの永劫回帰について議論してんの聞こえてきて、思わず「お前ら、ウィトゲンシュタインの『論理哲学論考』読んだか？言語の限界が世界の限界だぞ！」って叫んじまった。
だが同時に、後期ウィトゲンシュタインの言語ゲーム理論も考慮に入れねぇとな。
あぁ、またフッサールの現象学的還元とハイデガーの存在論的差異の狭間で思考が揺れ動いてきやがる。
哲学者どもは、こんな認識論的アポリアの中でメシ食ってんのか。
数学者連中だって、ラングランズ・プログラムの壮大な構想の中で、数論幾何と保型形式の深遠な関係に魅了されてるんだろうな。
正直、俺もそんな純粋知性の探求に身を捧げられる連中が羨ましい。
日々の下らねぇ現実に囚われてりゃ、位相幾何学におけるポアンカレ予想の証明やら、P≠NP問題の解決なんて夢のまた夢だからよ。
ったく、人生ってのは、まるでリーマンゼータ関数の非自明な零点の分布みてぇだな。
複雑で、規則性を秘めてそうで捉えどころがねぇ。
でも、その美しさと深遠さに魅了されずにはいられねぇ。
くそっ、また「Principia Mathematica」と「存在と時間」を同時に読み返したくなってきやがった。
高校卒業しても数IIIとか数IVとか言ってるやつは19万円がちょうどよいのじゃ。
恋人は大学で数学基礎論から数学VIまで修めたうえで、代数学I＆II、解析学I＆II、現代数学、数理演習I～IIIまで必修で納めているのじゃ。
選択科目次第ではもっともっと数学を勉強しているし、毎日数学を使って仕事をしているのじゃ。
数学に限らず、積み上げてきたものが違えば、必然的に能力も違うし、賃金に差がつくのも当たり前のことなのじゃ。
大体において国家資格を持ってたって、使ってないのだから賃金を嘆くのはそもそも筋違いなのじゃ。
厳しいことを言うようじゃが、仕事に関連する増田の勉強量は高校３年まででストップしているから、19万円分なのじゃ。
たとえ医師だって、トラックの運転手をさせたら月の稼ぎは30万円ちょっとじゃ。
そのことは、象牙の塔からでなければ理解できないと思うのじゃ。
そうしたら、ひたすらシャーレをオートクレーブしているだけの仕事は、19万円でもありがたいと思えるはずなのじゃ。
なにせ、明るく清潔で、屋根のある環境で、においもなく、座って作業することが認められているはずなのじゃ。
漁船から放り出される心配もなく、腐った魚の内臓を掃き捨てることもなく、冬の水に手を突っ込むこともなく、朝早くもなく、20kgの荷物を2つ3つ担ぐこともなく、天候不順で収穫が落ちることもなく、週末には雨が降らなくても休みで、イオン以外にも遊びに行けるはずなのじゃ。
でもわしは、そういうことを、増田が少しは理解していて愚痴を書いてると思うのじゃ。
みっともないけど、まあそういうこともあるよねって思っているのじゃ。
増田みたいな人は、今まで何人も見てきたのじゃ。
甘ったれるなとは思わないのじゃ。
甘えようが頑張ろうが、どのみち今後這い上がることもできないのじゃ。
人を収入で下に見るような相手と結婚して、下に見られながらも我慢して、したたかに生きていくものなのじゃ。
全ては、せっかく大学に入ったのに工学部を選択できなかった時点で決まっているのじゃ。
そして進路選択は、生まれる家庭環境によって大いに影響されているのじゃ。
できることはせいぜい、SNSをやめて、よそ様の生活を見ないように心がけることだけじゃ。
ひどいこと書いてごめんね。
体に気を付けてください。
現代の数学者のほとんどは形式化された数学の体系であるツェルメロ-フレンケル集合論ZFCを使っています.
言及されている通り, ゲーデルの不完全性定理によってZFCが無矛盾であるならばZFCは自身の無矛盾性を証明することができません. ZFCが矛盾している可能性はあります. ZFCの無矛盾性に関しては, 一方でZFCを用いて多くの数学者が数学をしている中でまだ矛盾が見つかってないという傍証もあります.
仮に矛盾が見つかってしまった場合, その後の方向性はいくつか考えられます:
1. その矛盾の証明をよく調べて, その原因を取り除いてZFCより弱い新たな数学体系を構築する.
これに関しては普段の数学をする際にフルでZFCを使っているわけではないので, 合理的なZFCより弱い体系を見つけることができればこれまでの数学を続けることができるかも知れません.
この場合は数学がどうなるか想像がつきません. 数学にとって大打撃になると思います.
他にもZFC以外の別の数学の形式的な基礎づけを与えようという動きもあります. またZFCより改善させるような新しい体系, 公理形を見つける方向の研究もあります.
1+1=2なのはなぜかという問いと、一個のあるものにもう一個あるものが手に入ってそれを合わせたら2個になるのはなぜかという問いは似て非なるだと思う。
前者はペアノの公理なり群論なりからなかば定義にみたいにそうだからそうなんだと説明できる。
だが後者はそういう目で見たり手に取ってみれる直観的現象としてなぜそうなるのかという話だ。しかもどんなに巨大な個数あっても同様なことが成り立つわけだ。
しかもこれ、微積分とかの何らかの計算がなぜ成り立つのかというのと問うのはまだ掘り下げてその仕組みを理解することが意義深いものでありうる感じるの違って、やはり問うまでもでもなく当たり前のことでしかないのではないかとも感じてしまう。
しかしそうやって連立方程式がなぜ代入法で解けるのかについて理解することについては素通りして当たり前に成り立つに決まってるとして活用してたのが、実は自明でもなんでもなく理解すべきロジックがきちんとあってそれに対して当たり前と言う言葉に目を曇らせていた事実もあったから、今回その可能性があるのではないかといわゆるジレンマに陥っている。
1+1=2のような足し算しょせんそういう直観的現象に対して辻褄があるように取り決められた演算にすぎない。あくまで直観的現象が先にあってその現象が予想できるように自然数の公理なりが定義されているわけだ。
あるいは5個あったところに1個追加された全体は3人で余りなく分けられるのはなぜかというのも似たような問いだ。6÷2=3だからだというのはその説明になっていない。
実際にそうなることの計算による推論の仕方を言ってるのではなく、なぜそうなるかと聞いてるわけだ。
人間の個数に関する認識が数学の構造にうまい具合に従っているから、認識と数学の集合が同型（雰囲気で言ってる）だから、みたいなことだろうか？数学基礎論を齧ってみたがいまいちこの問いと結びついているようであまり有用な感じもしない。なんかスマートな説明ないか。
掛け算の順序問題なるものがある。
「りんごが4つ入った袋が3つあったらりんごは全部でいくつありますか？」という問題に「4×3=12 答え 12個」と「3×4=12 答え 12個」という回答があって、前者だけを正答とすべきだとか両方正答とするべきだとか、そういう問題だ。長方形の面積について話している場合もある。
この意見の対立には、（一面として）数学をどのように抽象的に捉えるか、というのや数学・算数という科目の持つ役割に関してのスタンスの相違が原因にあると考える。
数学をより純粋に抽象的に捉えるにしたがって「順序強要」→「順序容認」→「順序強要」のように立場が変化することを以下で述べる。
念の為記しておくが、この文章は掛け算の順序問題に関してどの立場が正しいというような文章ではない。
俺は教育の専門家でもなければ小学生に算数を教えたベテラン教師というわけでもない。
数学への向き合い方が真摯になるにつれて変化する立場が単調でないことに気づき、その非自明な振る舞いについて筆を執ろうと思っただけのものである。
この文章で誰かの何らかに影響があればそれは幸いである。
「りんごが4つ入った袋が3つあったらりんごは全部でいくつありますか？」という問題に「4×3=12 答え 12個」と答えるのが正答であり、「3×4=12 答え 12個」と答えるのは誤答であるという立場である。
"4×3"という数式には「『1つぶんが4つ』のものが『3つぶん』ある」という意味があるとして、"3×4"という数式は題意にそぐわないとする。
正直なところ、数学でこれを正当化するような解釈を俺は知らない。
より高学年、あるいは中学・高校・大学・それ以降で出現する数式（例えば e^iθ=i sinθ+cosθ が成り立つとは、どういう意味合いのものが等しいということを言っているんだろうか？）に対して、その数式の"意味"は適切に存在して、何らかの実態と一致するだろうか。そのような体系がある場合、ぜひ知りたいのでご一報いただければ嬉しい。
上記の思想とは翻って「4×3=12 答え 12個」も「3×4=12 答え 12個」も正答とする立場である。
数式そのものに何か「実際的意味」はなく、そこには記号の間の関係や操作があるという立場はより現代的な数学に近いものであり、納得できるものだろう。
俺が現実で計算をするときもこの立場にいる。「日本国民全員が2回ずつ…」などと聞いたら脳内で出てくる式は"1億3000万×2=2億6000万"だし、「2人が1億3000万個ずつ…」と聞いても思い浮かべる式は"1億3000万×2=2億6000万"のままだ（自分の脳は乗数が単純なほど高速に乗算が行えるから、そのような式のほうを思い浮かべるように訓練されたのではないかと思う）。単なる道具としての使い勝手ならば、この立場はとても強い。道具として（正しい答えを出せるなら、という条件付きだが）順序を気にしない方が順序を気にする方より楽だろう。
算数を「現実の事柄に付随して必要となる計算を正しく行う能力を育てる」科目だと考えるなら──教養（大学などで学ぶそれではない）としての算術としての用途としては実際にそれで十分だろう──、真っ当な立場だろう。
しかし、この立場には少し弱いところがある。
数式そのものに意味はないとするのはよいが、その結果立式の段階で「状況」から一足飛ばしで「数式」が出来上がっている。これは、少なくとも数学の厳密な操作ではない。より厳密であろうとするならば、次の立場になるだろう。
数学的に厳密な立場であろうとするならば、意味論的操作を取り除く必要がある。この立場において、「『ひとつ分の数』が『いくつ分』あるとき、全体で『(ひとつ分の数)×(いくつ分)』あります」という定義にしたがって被乗数と乗数を区別することには意義がある。
この立場では、「りんごが4つ入った袋が3つあったらりんごは全部でいくつありますか？」という問題文に記述欄があった上で、「4×3=12 答え 12個」と答えるのも「3×4=12 答え 12個」と答えるのも厳密には誤答とする。
「これは、りんごが袋ひとつ分につき4つあり、袋が3つ分あるので、全体で4×3個のりんごがある。4×3=12なので、答えは12個である。 答え 12個」のように定義の形式に構文的に当てはめて答えて初めて正答である。この立場は「3×4=12」という立式を否定するものではない。「りんごを袋にひとつずつ入れていくことを考えると、これは一周分につき3つのりんごを入れ、4周分入れるので全体で3×4個のりんごがある。3×4=12なので、12個入れたことになり、全部でりんごは12個ある。 答え 12個」という回答も正答である。
この立場のもとで、「これは、りんごが袋ひとつ分につき4つあり、袋が3つ分あるので、全体で3×4個のりんごがある。3×4=12なので、答えは12個である。 答え 12個」という回答は全くの間違いとなる。「3×4=12」という立式ができる解釈はあるが、その式を導出するに至る構文的操作が誤っているためである。同様に、定義が「『ひとつ分の数』が『いくつ分』あるとき、全体で『(いくつ分)×(ひとつ分の数)』あります」というものならば、「これは、りんごが袋ひとつ分につき4つあり、袋が3つ分あるので、全体で4×3個のりんごがある。4×3=12なので、答えは12個である。 答え 12個」という回答は間違いとなる。
"3×4"と"4×3"はそれが"12"と等しいことを示すための証明木も異なるなど、式として完全に異なるものである。値が等しいことは証明されるべき非自明な命題であり、何も断らず用いてよいことではない。
「被乗数と乗数を入れ替えても答えが変わらないため、立式の際に断らずにこれらを入れ替えることがある」と答案の先頭で述べてある答案があれば（このようなことが書ける生徒は単なる乗算でつまづくような生徒ではないだろうが）、「りんごが袋ひとつ分につき4つあり、袋が3つ分あるので、全体で3×4個」でも正答としてよいだろう。
余談だが、長方形の面積に関してさらに状況は混迷を極める場合がある。長方形の面積を「たて×よこ」とするとき、これは「定義」か、「定理」かすら明らかでない。「1cm×1cmの正方形の面積は1cm^2」で「1cm×1cmの正方形がある図形にすきまも重なりもなく敷き詰められる場合その図形の面積は 使った正方形の個数 cm^2」という定義によって導かれる「定理」とする立場もあるだろう。この場合、「たて×よこ」は単なる立式の1宗派に過ぎず「よこ×たて」で面積を計算しようと1つ1つ数えようとどんな式で計算しようと使った正方形の個数を正しく導くことができる式ならば正答である。対して、「たて×よこ」が「定義」ならば、どちらを"たて"と見るかを記述する2択のみがあり、それ以外は誤答である（別の定理がある場合を除く）。
この思想は非常に窮屈に思えるかもしれないが、数学の直感的理解を否定するものではない。
必ずしも全生徒がそこまで進むわけではないが、数学科などで学ぶような数学においてはこのような思想が顕著になる。
純粋な数学において、自然数すら現実の何の対象とも厳密には対応せず、論理学は実際の"正しさ"と一致する保証を持たせるものではない。数学基礎論などを学ぶことでこのような数学の思想に触れることができると考える。
もし俺が正義感とやる気と生徒への期待と十分な時間を持ち合わせているなら、生徒にこのように指導するだろう。算数（は賛否両論あるかもしれないが）・数学は計算するだけの科目ではなく、論理学を学ぶための学問でもあるからだ。特に文章題を「現実の対象を数学的にモデル化してそこから論理的に結論を導く」ことを問うものであるとするならば、この立場に立つことには合理性がある。
しかし、これは理想的な状況における対応である。例えば回答欄が「(しき) (こたえ)」のように分かれている場合、そもそもこのような記述を行うべき欄がない。この場合、問題文を「『ひとつ分の数』が4であるようなものが3つ分あるとき、全体でいくつあるでしょう？」のように非常に定義に近づけて初めて「3×4=12」を減点する準備が整うといえよう（これでもまだ即座に誤答とするべきではないだろう）。そうでない場合、「4×3=12」と「3×4=12」の2つの式は同程度に論理の飛躍を伴っており、それらに点数の別をつけるべきではないかもしれない。
冒頭でも述べた通り俺は教育の専門家でもなんでもないから、どの立場を取れば生徒がよく理解するかなどについて何も言えない（どの立場に対しても理解できる生徒と理解できない生徒がいるだろうと思うが）。
個人的には2つ目と3つ目の中間のような立場だ。算数は計算をするだけでもないし論理をするだけでもない。単に計算をする手段としてなら順番なんてどうでもいい、素早く正しい答えが出るなら3袋の4個入りみかんを見て3+3+3+3だと思おうが(2*2)*3だと思おうが10+2だと思おうが構わない。他人と考えを共有するための道具なら前提から論理を組み立てる訓練が必要で、掛け算の順番にまで気を遣わなければ意味のある結果を出せない。数学はどちらをする科目でもあることに我々は自覚的だろうか。
が、そこに至るまでの結論はわりと複雑で、単純に論じられる問題ではない。
いちおう言っておくと、自分は旧帝大の数学科出身で、代数学・計算機科学的な議論はひととおりできるし、教育にも携わったことがある。
まず第一の論点として、少し厳密性に欠ける話なのだが、掛け算の左右は本質的には同じものではない。
つまり、（結果として交換可能かどうかではなく）意味的に交換可能か、というと、これは交換不可能である。
すなわち「掛け算の右と左は全く異なる意味を持つ」ということができると思う。
そもそも掛け算というのは、●を▲回足す、といった素朴な定義からスタートしている（現代的な数学基礎論の立場でもこのように掛け算を定義していると言ってよい）。
●を▲回足すことと、▲を●回足すことは、結果の同一性は置いておいて、少なくとも意味としては異なる話であろう。
実際、たとえば●を▲回掛けることと▲を●回掛けることを比べると、これは結果すら異なってくるわけだから、素朴に交換してよい、という話にはならない。
（数学では、非可換環だとかベクトルの作用だとかわけわからんものが山ほどあり、そこでは乗法やそれに類する演算が交換不可能なことは日常茶飯事である）
ところがこれが交換可能になってしまうというのが、「交換法則」の主張するところである。
これは掛け算そのものがその定義の中に「自明に」有している主張ではなく、定義から証明することによって主張される、いわゆる「定理」である。
するとここで「学校教育において、未だ習っていない定理をテストの解答に使用してもよいか」という第二の論点が現れる。
これに対する解答は、「よくない」である。
例えば大学入試においてロピタルの定理を使うことは、それが問題を解くために非常に役に立つにもかかわらず、許されていない。
どうしても使用する場合は、自らそれを解答用紙中で証明したうえであれば使うことができる、というルールだ。
さらにいえば、仮に交換法則を使ってもよいとして、「交換法則を使った」ことを明記せずに最初から定理適用後の姿で立式してしまうことにも疑問点が残る。
この論点でもやはり基本的には交換不能である側の意見に理があると考える。
と、言うのも、基本的に文章題においては日本語を数式に変換するための「解釈」は解き手に委ねられているからだ。
つまり、３個ずつのリンゴを５人に配りました、という日本語から「３個を５回足すんだな」と解釈することにも、「５人を３回足せばいい」と考えることにも一定の妥当さがあり、そこには読み取りの自由がある。
これは算数や数学の問題というより、日本語としての読み取り方の部分に交換可能性が潜んでいるのである。
したがって、この文章を数式にするにあたって５×３と書いても、それは何ら減点要素ではない。
まとめると、
掛け算は意味的には交換可能ではないよ→でも交換法則があるよ→でも習ってない定理は使えないよ→でも日本語の読み取りの部分に交換可能性があるよ
ってことで、左右逆に書いても丸になるというのが結論。
ＳＦをもっと楽しむための科学ノンフィクションはこれだ！ http://d.hatena.ne.jp/huyukiitoichi/20140417/1397744529 を受けて10冊選んでみました。
「『現実とはなにか』という認識が変わっていく」ような本はありません。
ヨーロッパにおける完全言語を求める歴史を扱った『完全言語の探求』と多くのプログラミング言語設計者へのインタビューをまとめた『言語設計者たちが考えること』は、あまり読者が重なっていない気がしますが、円城塔をきっかけにして両方読んでみるのもいいのではないでしょうか。
「つぎの著者につづく」(『オブ・ザ・ベースボール』収録)の冒頭で語られるエピソードが『完全言語の探求』から引いたものであることは単行本収録時に追加された注で明示されていますし、「道化師の蝶」に出てくる無活用ラテン語についても『探求』で触れられています。
一方『言語設計者たちが考えること』については、読書メーターで「小説を書く人も読むと良い」(2010年12月10日)とコメントしていて、『本の雑誌』の連載でも取り上げています(2011年11月「言葉を作る人たち」)。また『本の雑誌』の連載では『言語設計者たち』以外にも時々プログラミング言語や言語処理についての本が取り上げられています。
最近連載のはじまった「プロローグ」(『文學界』掲載)も今のところ、より望ましい文字の扱いや処理についての話をしているので、いささか強引な解釈ですが『完全言語の探求』『言語設計者たちが考えること』と繋がっている小説です。
ロシア語作家として出発しアメリカ亡命後に英語作家に転身したナボコフは、自分自身の書いた文章を別の言語に翻訳する「自己翻訳」を相当数おこなっていますが、それを主題とした評論書です。
円城塔本人も語っていますが、「道化師の蝶」ではナボコフがモチーフとして使われています。友幸友幸が「希代の多言語作家」であることもナボコフへの参照のひとつでしょう(若島正は『乱視読者の新冒険』のなかでナボコフを「稀代の多言語作家」と形容しています)。その希代の多言語作家の「わたし」とそれを翻訳する「わたし」が重なるようで重ならない「道化師の蝶」の筋立てにも、同じ作品について作者と翻訳者の両方の役割を演じたナボコフの影が見出せます。また「道化師の蝶」の姉妹編といえる「松ノ枝の記」での、相互翻訳・相互創作する2人の作家という設定も「自己翻訳」の変奏と見ることができるでしょう。こうした創作と翻訳の交錯する2編を再読する上でも、この評論書が良い補助線になるのでは。
読書メーターのコメントは「素晴らしい」(2011年4月28日)。
最初期に書かれた『Self-Reference ENGINE』や「オブ・ザ・ベースボール」「パリンプセストあるいは重ね書きされた八つの物語」(『虚構機関』収録)などに顕著ですが、円城塔の小説には、掌編の積み重ね(積み重ならず?)によって全体の物語が作られるという構造がよく現れます。これは辞典を順番に読んでいく感覚とちょっと似ているかもしれません。『数学入門辞典』を読んでいると、たとえあまり数学に詳しくなくても、円城塔の小説に対してしばしば言われる「よく分からないけど面白い」という感覚を味わえると思います。ただし、円城塔の小説に出てくる数学用語がこの辞書に出てくるなどと期待してはいけません。
「一家に一冊」だそうです。 https://twitter.com/rikoushonotana/status/402707462370758656/photo/1
円城塔の小説には数学者やそれに準ずる人が多く登場しますが、『史談』は数学者を語った本として真っ先に名前のあがる定番の名著です。著者は類体論を確立したことあるいは解析概論の著者として知られる高木貞治。かの谷山豊はこの本を読んで数学者を志したそうです。
数学部分については河田敬義『ガウスの楕円関数論 高木貞治先生著"近世数学史談"より』という講義録があるくらいには難しいので適当に飛ばしましょう。
『考える人』2009年夏号 特集「日本の科学者100人100冊」で円城塔が選んでいたのが高木貞治とこの本でした。
ムーンシャイン現象は、『超弦領域』収録の「ムーンシャイン」の題材で、他に「ガーベジコレクション」(『後藤さんのこと』収録)にも単語だけですがモンスター群とコンウェイが出てきます(コンウェイは「烏有此譚」の注にも言及あり)。作品内に数学的ホラ話といった雰囲気がしばしばあらわれる円城塔にとって「怪物的戯言(モンスタラス・ムーンシャイン)」はいかにもな題材かもしれません。
ムーンシャインを扱った一般向けの本というとたぶん最初に『シンメトリーとモンスター』が挙がるのですが翻訳が読みにくいし『シンメトリーの地図帳』にはあまり説明がなかった気がするので、この『群論』を挙げます。
数学の専門書ですが、第4章「有限単純群の分類/Monsterとmoonshine」は読み物風の書き方になっています。ただし詳しい説明なしでどんどん話が進んでいくところも多く、きちんと理解するのは無理です(無理でした)。
第4章を書いている原田耕一郎はモンスター群の誕生にも関わりが深い人で、多くの文章でモンスターとムーンシャインについて触れているので、雑誌などを探せば難度的にもっと易しい文章が見つかるかもしれません。
円城塔の小説には「オブ・ザ・ベースボール」のように確率についての言及もよく見られます。『数学セミナー』『数学のたのしみ』『科学』等で高橋陽一郎が書いた確率論についての諸入門解説記事、は探すのが面倒だと思われるので、もっと入手しやすいこの本を。
確率微分方程式で有名な伊藤清のエッセイ集です。「確率」より「数学者」の項に置くのがふさわしい本ですが確率の本として挙げます。
読書メーターのコメントは「素晴らしい」(2010年10月24日)。
やはり専門が力学系ということもあり、力学系関連もしばしば登場します。
本のタイトルを見て「力学系と力学は違う」と指摘されそうですが、副題は「カオスと安定性をめぐる人物史」。力学系の歴史に関する本です。実のところどんな内容だったか覚えていないのですが、「いわゆるこの方程式に関するそれらの性質について」(単行本未収録)で引用文献に挙がっているから大丈夫でしょう。
『Nova 1』収録の「Beaver Weaver」をはじめ、ロジック(数学基礎論)関連も円城塔の小説に頻出する素材です。
とりわけ計算可能性、ランダム性、busy beaver、コルモゴロフ複雑性……とあげてみると、まずはチャイティンの諸作が思い浮かびますが、あれはむやみに勧めていいタイプの本なのかちょっと疑問なので避けます。読書メーターでは、最近出た『ダーウィンを数学で証明する』に対して「 チャイティンのチャイティンによるチャイティンのためのいつものチャイティン」(2014年3月20日)とコメントしています。
これという本が思い浮かばなかったので、いくらかためらいながらもこの本を挙げました。『メタマジック・ゲーム』か、あるいはヒネリも何もなく『ゲーデル・エッシャー・バッハ』でよかったのかもしれません。ただ『ゲーデル・エッシャー・バッハ』だけを読んでもほぼまちがいなく不完全性定理は理解できないということはもっと周知されるべきじゃないかと思います。
円城塔はこの本について「すごかった。(但し、かなりハード。)」(2011年3月27日)とコメントし、『本の雑誌』でも取り上げています(2012年10月「ゲーデルさんごめんなさい」)。
初心者向きの本ではありませんが、不完全性定理について一席ぶつ前に読んでおくといいでしょう。
『天体力学のパイオニアたち』が上下巻なので、以上で10冊になります。
別にノンフィクションを読まなくてもフィクションを楽しむことはできますが、ノンフィクションを読むことによって得られるフィクションの楽しみというのもまた楽しいんじゃないでしょうか。
追記: 小谷元子編『数学者が読んでいる本ってどんな本』に寄稿している13人のうちのひとりが円城塔なので、そちらも参照してみるとよいと思います。リストに挙げられている約50冊の本のうち半分くらいがノンフィクションです。上に挙げた本とかぶっていたのは『数学入門辞典』『天体力学のパイオニアたち』『ゲーデルの定理 利用と誤用の不完全ガイド』でした。また、はてブのコメントで言及のあったイエイツ『記憶術』もリストに入ってました。
元ネタ：モテる女子力を磨くための4つの心得 http://youpouch.com/2011/04/26/162331/
こんにちは、現代思想系文芸批評を専攻しているエス嬢です。私は形式論理も自然科学も分かりませんし知の欺瞞ですが、現代思想に関してはファッショナブル。今回は、モテる現代思想系女子力を磨くための4つの心得を皆さんにお教えしたいと思います。
あえて2～3世代前の人間観を持つようにしましょう。そして飲み会の場で好みの男がいたら話しかけ、わざとらしく主体を過剰に根拠化してみましょう。そして「あ～ん！この主体本当にマジでチョームカつくんですけどぉぉお～！」と言って、男に「どうしたの？」と言わせましょう。言わせたらもう大成功。「主体性とか詳しくなくてぇ～！ ずっとコギト信じてるんですけどぉ～！ 自律してるんですぅ～！ ぷんぷくり～ん（怒）」と言いましょう。だいたいの男は生=政治を批判したがる習性があるので、古かったとしても構造主義的な人間観を持っているはずです。
そこで男が「近代的人間主義の客体化しないの？」と言ってくるはず（言ってこない実直な実証研究系の男はその時点でガン無視OK）。そう言われたらあなたは「なんかなんかぁ～！ 最近アガンベンが人気なんでしょー!? あれってどうなんですかぁ？ 本質としての主体欲しいんですけどわかんなぁぁああい!! 私かわいそーなモダニスト★」と返します。すると男は「潜在性としての実存でしょ？ 例外状態に集約されない共同体はまだ到来してないよ。本当に良くわからないみたいだね。どんな＜主体＞幻想が欲しいの？」という話になって、次の休みの日にふたりでデカルト以降的人間観の脱構築に行けるというわけです。あなたの女子力が高ければ、男が文学における作者の死も宣言してくれるかも!?
「人間理性の限界」とか「理系コンプレックス」などを表現する「不完全性定理」をテクスト批評に入れると、男性ポストモダニストは「なんかこの子アカデミズムに回収されないなぁ」や「対象aかも」と思ってくれます。現代思想上では数学基礎論のイメージだけが都合よく曲解されて相手に伝わるので 「不完全性定理」 を多用することによって、男性はあなたをポストモダニストらしいと勘違いしてくれるのです。そういうキャラクターにするとほぼ絶対に自然科学者・数学者・論理学者・分析系哲学者に嫌われますが気にしないようにしましょう。
3. とりあえず男には「えー！ なにそれ!? 知りたい知りたーい♪」と言っておく
飲み会などで男が女性に話すことといえばポストコロニアリズムやフェミニズムの話ばかり。よって、女性にとってどうでもいい話ばかりです。でもそこで適当に「へぇーそうなんですかぁ～？」とか「よくわかんないですけどすごいんですねぇ」と返してしまうと、さすがの男も「この女伝統的な古典文学研究志向だな」と気がついてしまいます。学究の徒だとバレたら終わりです。そこは無意味にテンションをあげて、「えー！ なにそれ!? 知りたい知りたーい♪」と言っておくのが正解。たとえ興味がない話題でも、テンションと積極性でその場を乗り切りましょう。積極的に話を聞いてくれる女性に男は弱いのです。
いろいろと話を聞いたあと、「脱構築は正義で、テクストの外には何も無いんですね！ 覚えたぞぉ！ エクリチュールでメモメモ！」とコメントすれば常にあらかじめ差延が発生。続けて頭に指をさしてくるくる回しつつ「デコンデコンデコン！ デコンデコンデコン！」と言って、「どうしたの？」と男に言わせるのもアリ。そこで「私のロゴス中心主義をデコンストリュクシオンしているのでありますっ☆」と言えば女子力アップ！ そこでまた男は「この子脱構築そのものをも脱構築し続ける運動を動的に受容してるのかも!?」と思ってくれます。私は形式論理も自然科学も分かりませんし知の欺瞞ですが、こういうテクニックを使えば知識を持たない私のようなバカ女のほうがモテたりするのです。男は優越感に浸りたいですからね。
4. レストランではレディースセットを食べられない娘をアピールせよ
男とレストランに入ったら、真っ先にレディースセットなどの女性限定のメニューを探して「あーん！ 私これ食べられないんですよねぇ～（悲）」と言いましょう。するとほぼ100パーセント「どうして？ 嫌いなの？」と聞かれるので、「嫌いじゃないし食べたいけど食べられないんですっ＞＜」と返答しましょう。ここでまた100パーセント「嫌いじゃないのにどうして食べられないの？」と聞かれるので、うつむいて3～5秒ほど間をおいてからボソッとこう言います。「……だって、……だって、セクシャルマイノリティを排除するマッチョの論理じゃないですかぁっ！ LGBTかわいそうですぅ！ ジェンダーは社会的に構成されるのにぃぃ～（悲）。わたし実は男の娘なんですよ……」と身を震わせて言うのです。
その瞬間、あなたの女子力がアップします。きっと男は「なんて優しい天使のようなコなんだろう！ 絶対にゲットしてやるぞ！ コイツは俺の男の娘だ！」と心のなかで誓い、あなたに惚れ込むはずです。意中の男と付き合うことになったら、そんなことは忘れて好きなだけレディースセットを食べて大丈夫です。「食べられないんじゃなかったっけ？」と言われたら「大丈夫になった」とか「差別の暴露がむしろ差別を固定化／再生産する」、「男の娘はネット上では既に市民権を得た」と言っておけばOKです。
関係各分野の皆さんごめんなさい
「例外状態を実現する共同体はまだ到来してないよ」はおかしいのでは、という指摘がtwitterでありました。
（http://twitter.com/kazukazu881/statuses/67421840242515969）
著者の新作「笑いの喪――あるいは後期コウメ太夫における「蕩尽」概念の受肉について」が公開中です。
